体Z2上の多項式f(x)=x^4+x+1は既約であるか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

f(0)=1,f(1)=3＝1

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Z2に根を持たない。f(x)=(x-a)g(x),degg(x)=3と表すことができない

degg(x)の次数は2である

f(x)=(x^2+ax+b)(x-2-ax+c)とする, a,b,c＜Z2

a^2-b-c=1

a(b-c)=1

bc=1

b=c=1→a(b-c)=1は0=1となり矛盾→Z2上既約

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

（その５３）既約多項式はπ(x)=1+x+x^4のほかに

π(x)=1+x^3+x^4

π(x)=1+x+x^2+x^3+x^4

が存在する・・・とつながるのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

f(x)=1+x^3+x^4の場合

f(0)=1,f(1)=31

f(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=とする, a,b,c,d＜Z2

x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd

(a+c)=1

(b+d+ac)=0

(ad+bc)=0

bd=1→b=1,d=1

→(b+d+ac)=0よりac=0→a=0,c=1またはa=1,c=0

→(ad+bc)=0に矛盾する →Z2上既約

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4の場合

f(0)=1,f(1)=5＝1

f(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=とする, a,b,c,d＜Z2

x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd

(a+c)=1

(b+d+ac)=1

(ad+bc)=1

bd=1→b=1,d=1

→(b+d+ac)=1よりac=1→a=1,c=1

→(ad+bc)=1に矛盾する →Z2上既約

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝