【４】ワイエルシュトラスの標準形

　ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄという方程式で定まる曲線はおなじみの３次曲線ですが，ｙのところがｙ^2に変わるとワイエルシュトラスの楕円曲線：

　　ｙ^2＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ

になります．ただし，ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数で，右辺の３次式は重根をもたないものと仮定します．楕円曲線をワイエルシュトラス形式に制限しても一般性を失いません．実際，どのような楕円曲線もワイエルシュトラス形式の楕円曲線に双有理的に同値だからです．

　また，ｘ^2の項の係数はｘ’＝ｘ＋ｂ／３ａと変数変換（カルダノ変換）することによって簡単に消すことができますから，

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　　（４ａ^3＋２７ｂ^2≠０）

を楕円曲線と定義しても構いません．４ａ^3＋２７ｂ^2≠０は重根をもたないための条件です（判別式：Δ＝−（４ａ^3＋２７ｂ^2））．

　ワイエルシュトラスの標準形：

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ　　　（２^2ａ^3＋３^3ｂ^2≠０）

のｊ-不変量を計算すると，

　　ｊ＝２^8・３^3ｂ^2／（２^2ａ^3＋３^3ｂ^2）

となります．ｊｰ不変量は，２つの楕円曲線が同じｊｰ不変量をもつかどうかなど，３次曲線を分類する（見分ける）ための指標になっているのです．

　なお，ｊは射影変換不変量であるばかりでなく，双有理変換不変量です（サーモンの定理）．

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【５】補足

［１］ワイエルシュトラスの標準形

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）

はｘを１次変換しｙを定数倍すると

　　ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3

　　ｇ2＝3√４／３（λ^2−λ＋１）

　　ｇ3＝１／２７（λ＋１）（２λ^2−５λ＋２）

に変形できます．

　　ｙ^2＝４ｘ^3−ｇ2ｘ−ｇ3

　　ｊ＝１７２８ｇ2^3／（ｇ2^3−２７ｇ3^2）

をワイエルシュトラスの標準形といいます．ｇ2^3−２７ｇ3^2≠０は重根をもたないための条件です．

［２］ヘッセの標準形

　非特異３次曲線は９個の変曲点をもつ．そのひとつを（０，１，０）とし，そこでの接線がｚ＝０となるように射影座標をとると，ワイエルシュトラスの標準形：

　　ｙ^2ｚ＝４ｘ^3−ｇ2ｘｚ^2−ｇ3ｚ^3

の形にできる．

　さらに，９個の変曲点が

　　（−１，ω^i，０），（−１，０，ω^i），（０，−１，ω^i）

　　　　ωは１の虚数立方根，i=0,1,2

となるような射影座標をとると，ヘッセの標準形

　　ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３λｘｙｚ＝０

に正規化することができる．

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