ｐを奇数の素数とします。

｛０，１，２，・・・，ｐ−１｝のｐ個の数の世界は四則演算が定められた有限集合で、有限体あるいはガロア体Ｆpと呼ばれます。

p=5の場合の掛け算は、

f(x)=exp(-(x-α)/β)/{1+exp(-(x-α)/β)}^2

　　　１　　２　　３　　４

１　　１　　２　　３　　４

２　　２　　４　　１　　３

３　　３　　１　　４　　２

４　　４　　３　　２　　１

となって、どの行どの列にも｛１，２，３，４｝が一つずつ並んでいます。

Ｆpにおいても、a^p-1=1 (フェルマーの小定理)、(p-1)!=-1　（ウィルソンの定理）が成り立ちます。

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また、

１・１＝１

２・２＝４

３・３＝４

４・４＝１

ですから、１と４は平方数です。これらは整数の世界でも平方数ですが、次にF7を考えてみます。

　　　１　　２　　３　　４　　５　　６

１　　１　　２　　３　　４　　５　　６

２　　２　　４　　６　　１　　３　　５

３　　３　　６　　２　　５　　１　　４

４　　４　　１　　５　　２　　６　　３

５　　５　　３　　１　　６　　４　　２

６　　６　　５　　４　　３　　２　　１

対角線に並ぶ数字を見ると

３・３＝２

４・４＝２

より２も平方数になります。整数の世界では平方数でない数が、有限個の数の世界では平方数になるのです。

｛１，４，２｝は平方数となるのですが、｛１，２，３，４，５，６｝のちょうど半分

もっと正確にいうと、Fpにおいて、0は平方数であり、0以外の数についてはｐ-1個のちょうど半分が平方数となります。

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