Fｐ上の射影平面にはｐ^2＋ｐ+1個の点とｐ^2＋ｐ+1本の直線があり、どの直線もｐ個の点を通り、どの点でもｐ本の直線が交わっている。

これに有限体Fp^3を対応させる。

ｍ=ｐ+1、ｐ^2＋ｐ+1＝ｍ^2-ｍ+1

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【５】２^m元ガロア体の原始多項式

ｍ＝４の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、

ｍ＝２の場合、π(x)=1+x+x^2

ｍ＝３の場合、π(x)=1+x+x^3

ｍ＝４の場合、π(x)=1+x+x^4

ｍ＝５の場合、π(x)=1+x^2+x^5

ｍ＝６の場合、π(x)=1+x+x^6

を用いることによって実現される。

1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される

［１］ｍ＝３，Ｌ＝７：｛１，２，４｝

　　ｍ＝３＝２^1＋１→φ（７）／６＝６／６＝１通り

F2上の射影平面には7個の点と7本の直線があり、どの直線も3個の点を通り、どの点でも3本の直線が交わっている。

これに有限体F8を対応させる。

ｍ＝３の場合、π(x)=1+x+x^3

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［２］ｍ＝４，Ｌ＝１３：｛１，４，６，２｝，｛１，７，２，３｝

　　ｍ＝４＝３^1＋１→φ（１３）／６＝１２／６＝２通り

F3上の射影平面には13個の点と13本の直線があり、どの直線も4個の点を通り、どの点でも4本の直線が交わっている。

これに有限体F27を対応させる。

ここではx^3+2x+1=0,ｘ^3=2+xを用いる。

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［３］ｍ＝５，Ｌ＝２１：｛１，３，１０，２，５｝

　　φ（２１）＝２１（１−１／３）（１−１／７）＝１２

　　ｍ＝５＝２^2＋１→φ（２１）／１２＝１２／１２＝１通り

F4上の射影平面には21個の点と21本の直線があり、どの直線も5個の点を通り、どの点でも5本の直線が交わっている。

これに有限体F64を対応させる。

ここではx^3+x^2+x+ω=0,ｘ^3=ω+x+x^2、ω~2=1+ωを用いる。

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［４］ｍ＝６，Ｌ＝３１：｛１，２，５，４，６，１３｝

　　ｍ＝６＝５^1＋１→φ（３１）／６＝３０／６＝５通り

F5上の射影平面には31個の点と31本の直線があり、どの直線も6個の点を通り、どの点でも6本の直線が交わっている。

これに有限体F125を対応させる。

ここではx^3+4x+3=0,ｘ^3=2+xを用いる。

｛１，１４，４，２，３，７｝

｛１，３，２，７，８，１０｝

｛１，５，１２，４，７，２｝

｛１，３，６，２，５，１４｝

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