■既約性判定基準(その57)

【4】16元ガロア体の生成

ここでは、既約多項式π(x)=1+x+x^4と原始元α=(0,1,0,0)=xを利用して位数16の有限体を生成したい。

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1+x+x^4を法とする剰余簡約では、1の要素αから始め、次にα=xをかけるので、1が右から消えるとき、一番左側の2つの位置に2を法として1を加えることに対応している

すなわち、

(0,0,0,0)=0

(1,0,0,0)=1

(0,1,0,0)=x

(0,0,1,0)=x^2

(0,0,0,1)=x^3

(1,1,0,0)=1+x

(0,1,1,0)=x+x^2

(0,0,1,1)=x^2+x^3

(1,1,0,1)=1+x+x^3

(1,0,1,0)=1+x^2

(0,1,0,1)=x+x^3

(1,1,1,0)=1+x+x^2

(0,1,1,1)=x+x^2+x^3

(1,1,1,1)=1+x+x^2+x3

(1,0,1,1)=1+x^2+x^3

(1,0,0,1)=1+x^3

(1,0,0,0)=1

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【5】2^m元ガロア体の原始多項式

m=4の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、

m=2の場合、π(x)=1+x+x^2

m=3の場合、π(x)=1+x+x^3

m=4の場合、π(x)=1+x+x^4

m=5の場合、π(x)=1+x^2+x^5

m=6の場合、π(x)=1+x+x^6

を用いることによって実現される。

1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される

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mの場合の原始多項式は

φ(p^m-1)/m個

存在する。

m=5の場合、φ(2^5-1)/5=6個nの異なる原始多項式が存在する。

π(x)=1+x^2+x^5

π(x)=1+x^3+x^5

π(x)=1+x+x^2+x^3+x^5

π(x)=1+x^2+x^3+x^4+x^5

π(x)=1+x+x^2+x^4+x^5

π(x)=1+x+x^3+x^4+x^5

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 φ(m)は,mと互いに素であり,mより小さい整数r,1≦r<mの個数として定義される.すなわち,φ(m)は1からm−1までの整数のうち,mと公約数をもたない数はいくつあるかを数えた数を表す.

 m=9→1,2,4,5,7,8→φ(9)=6

 m=10→1,3,7,9→φ(10)=4

 φ(1)=1,φ(2)=1,φ(3)=2,φ(4)=2

 φ(5)=4,φ(6)=2,φ(7)=6,φ(8)=4

 φ(9)=6,φ(10)=4,

 φ(p)=p−1

 φ(p^a)=(p−1)p^(a-1)=p^a(1−1/p)

 φ(m)=mΠ(1−1/pi)

 φ(10)=10(1−1/2)(1−1/5)=4

m=2のとき、φ(3)/2=1

m=3のとき、φ(7)/3=2

m=4のとき、φ(15)/4

 φ(15)=φ(3)φ(5)=8より

m=4のとき、φ(15)/4=2

m=5のとき、φ(31)/5=30/5=6

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