［１］アイゼンシュタインの基準

　ｆ（ｘ）＝ａnｘ^n＋・・・＋ａ0

　ｐを素数とする．

　ａ）ａnはｐで割り切れない．

　ｂ）ａn-1，・・・，ａ0はｐで割り切れる．

　ｃ）ａ0はｐ^2で割り切れない．

のとき，既約多項式である．（ｆ（ｘ）はＱ上既約）

（証）ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）とする．

　　ｇ（ｘ）ｈ（ｘ）＝ａnｘ^n　　（ｍｏｄｐ）

　ｇ，ｈの主係数を除くすべての係数はｐの倍数であるから，ｐ^2はｂ0ｃ0＝ａ0を割り切る．

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　ｘ^5−８０ｘ−５＝０は代数的には解けない方程式です．（ｆ（ｘ）はＱ上既約）

　ａ）１は５で割り切れない．

　ｂ）８０，５は５で割り切れる．

　ｃ）１は２５で割り切れない．

　ｘ^3+６ｘ−２＝０は代数的には解けない方程式です．（ｆ（ｘ）はＱ上既約）

　ａ）１は２で割り切れない．

　ｂ）６，２は２で割り切れる．

　ｃ）１は４で割り切れない．

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　ｆ（ｘ）＝ｘ^3+６ｘ−２＝０

ｆ（ｘ）＝(x+a)(x^2+bx+c),　　　a,b,cは整数

a+b=0

c+ab=6

ac=-2

(a,c)=(1,-2),(-1,2),(2,-1),(-2,1)

(a,c)=(1,-2)→b=-1→c+ab≠6→矛盾。

以下同様

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