正単体はKn+1完全グラフの形に投影することができる。その場合、中心部は拡大され、周辺部は圧縮される。

この関係はエッシャーの描いた「天国と地獄」を想起させる。そこでは白い天使と黒い悪魔が円板を埋め尽くしている。

その意味で、ポアンカレの双曲円板の正単体版ともいえる。

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ユークリッド平面内の双曲平面のモデルとしては

[1]ベルトラミ・クラインモデル(BK)

[2]ポアンカレモデル(P)

[3]上半面モデル(H)

があるが、[1][2]はそれ自身の境界をもたない一つの円である。

前者では直線はユークリッド的線分であるが、角は違った方法で測らなければならない。

後者では角はユークリッド的であるが、直線は円周に垂直な円弧である。

クラインの双曲円板の正単体版といったほうがいいかもしれない。

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安冨先生はベルトラミ・クラインモデルで説明を行っていた。直線が直線に移るからであろう。

一般に、球面三角形では距離は1-cos(頂点との距離)、双曲三角形ではcosh(頂点との距離)-1で与えられる。

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なお、

[1]中間三角形は2個存在する。

[2]中間三角形は1個存在する。

[3]中間三角形は0個存在する(存在しない)。

解が２つ、1つあるいは0個を調べるために、係数にパラメータｓが入った高次方程式f(s,x)=0が私の眼には唐突にでてきたように思えた。

あれは3次方程式の実数解の個数を調べるための判別式のようなものだろうか？

実際、3次方程式ではそのようなことが可能であるのだが、それとも類似性はあるのだろうか？

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