■置換多面体(その7)

 横浜の杉山さんに教えてもらったことであるが,

[1]空間充填2(2^n-1)胞体の面数は「第2種スターリング数*k!」と等しい.

[2](3^n-1)胞体の面数と等しい整数列が存在する.

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[1]空間充填2(2^n-1)胞体の面数は「第2種スターリング数*k!」と等しい.

その整数列はオンライン整数列大辞典の次の頁で確認できます。

http://oeis.org/A019538

[2](3^n-1)胞体の面数と等しい整数列が存在する.

その整数列はオンライン整数列大辞典の次の頁で確認できます。

http://oeis.org/A145901

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  nTk=Σ(0,k)(−1)^k-jkCjj^n

  nTk=kn-1Tk-1+n-1Tk

とデーン・サマービル関係式

  fk=Σ(0,k)(−1)^j(n−j,n−k)fj

を比較してみよう.

 このままでは比べにくいから,前者のパラメータをj→k−jに変えてみると

  nTk=Σ(0,k)(−1)^jkCj(k−j)^n

となる.これより

  kCj(k−j)^n=(n−j,n−k)fj

となるかどうかは疑問であるが,ともあれ比較しやすい形にはなったわけである.

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 以上は多面体的組み合わせ論の結果であるが,幾何学的には

  fk=Σ(0,k)(n+1,j+1)f(k-j)^(n-1ーj)

の形で求められるから,これも

  (−1)^jkCj(k−j)^n=(n+1,j+1)f(k-j)^(n-1ーj)

  f(k-j)^(n-1ーj)=(−1)^jkCj(k−j)^n/(n+1,j+1)

あるいは

  (−1)^j(n−j,n−k)fj=(n+1,j+1)f(k-j)^(n-1ーj)

となるかどうかは疑問であるが,ともあれ比較しやすい形にはなったわけである.

  fk=Σ(0,k)(n+1,j+1)f(k-j)^(n-1ーj)

と比較するならば,

  nTk=k・n-1Tk-1+n-1Tk

であろう.

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