■置換多面体(その5)

 空間充填2^n+2n胞体の場合,頂点に集まるk次元胞は2種類であったため,反転公式が使えた.

 空間充填2^n+2n胞体において,切頂点に集まるn−1次元面数は

  (tp+1,1)+2^n-1-fp

になりましたが,これは空間充填2^n+2n胞体に限らず,一般の正軸体系切頂型準正多胞体でも成り立つ式である.

  fn-1=(x/a+y/b)f0,

  x=(tp+1,1),y=2^n-1-fp

 空間充填2(2^n−1)胞体の場合はどうなるのだろうか?

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 わかっていることは

[1]頂点に集まるn−1次元面数はnである.

  fn-1=(x/a+y/b+z/c+w/d+・・・)f0

  x=(tp+1,1)?,y=2^n-1-fp?,・・・

[2]頂点に集まる1次元面数はnである.

だけである.

 頂点に集まるk面数のnとなる様な気もするが,

[3]頂点に集まるn−2次元面数はnにはならないはずである.

さらに,

[4]すべてのk面は,n−k個のファセットに含まれる.

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【1】デーン・サマービル関係式

 各頂点がn本の辺上にあるn価のn次多面体(単純多面体)に対しては,デーン・サマービル関係式

  fk=Σ(0,k)(−1)^j(n−j,n−k)fj

が成り立つ.

 k次元面はn−k個のファセットの共通部分に含まれる,残りのn−j個のファセット上のあるものを引いて,引き過ぎた分を足し直してということを繰り返した包除公式である.

 単純n次多面体に対して,与えられたj次面を含むk次面の数は(n−j,n−k)になる.k=nのときがオイラー関係式

  fn=Σ(0,n)(−1)^jfj

であるが,オイラー関係式は単純多面体だけでなく任意の多面体に対して成り立つ.

 デーンは1905年に5次元においてこの関係式を証明した.およそ20年後の1927年,サマービルが一般の場合を証明した.

[例]空間充填2(2^n−1)胞体の面数はデーン・サマービル関係式を満たす.

2次元:(f0,f1)=(6,6)

3次元:(f0,f1,f2)=(24,36,14)

4次元:(f0,f1,f2,f3)=(120,240,150,30)

5次元:(f0,f1,f2,f3,f4)=(720,1800,1560,540,62)

6次元:(f0,f1,f2,f3,f4,f5)=(5040,15120,16800,8400,1806,126)

[例]3^n−1胞体の面数はデーン・サマービル関係式を満たす.

2次元:(f0,f1)=(8,8)

3次元:(f0,f1,f2)=(48,72,26)

4次元:(f0,f1,f2,f3)=(384,768,464,80)

5次元:(f0,f1,f2,f3,f4)=(3840,9600,8160,2640,242)

6次元:(f0,f1,f2,f3,f4,f5)=(46080,138240,151680,72960,14168,728)

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