■置換多面体(その4)

【1】オイラーの多面体公式

 正二十面体をイメージして下さい.正二十面体(頂点が12個,正三角形の面が20個ある)の各頂点からのびている5本の辺をそれぞれ1/3の長さの所で切り取り,五角錐をはずします.するとそこに12枚の正五角形が現れ,20枚の正三角形が20枚の正六角形になるわけです.

 サッカーボールは正二十面体の切頂形であって,正五角形が12枚,正六角形が20枚の合計32枚の面で構成されています.12個の正五角形はすべて離れています.

 サッカーボールでは,頂点の数v=60,辺の数e=90ですから,面の数f=32となってオイラーの多面体公式

  v−e+f=2

が成り立っています.しかし,実際に頂点の数vや辺の数eを数えたら途中で間違うこと必定です.

 そこで,正五角形がx面,正六角形がy面あるとします.サッカーボールではどの頂点からも3本の辺が出ているので,5x+6y個の頂点は同じ頂点が重複して3回数えられていることがわかります.したがって,頂点数vは

  3v=5x+6y

 同様に,5x+6y個の辺は同じ辺が重複して2回数えられているので,

  2e=5x+6y

 オイラーの公式に代入すると

  (5x+6y)/3−(5x+6y)/2+x+y=2

より,x=12,y=20,v=60,e=90,f=32

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【2】原始的3次元14面体の計量

 原始的3次元14面体とは切頂八面体のことです.そこで,正方形がx面,正六角形がy面あるとします.切頂八面体でもどの頂点からも3本の辺が出ているので,4x+6y個の頂点は同じ頂点が重複して3回数えられていることがわかります.したがって,頂点数vは

  3v=4x+6y

 同様に,4x+6y個の辺は同じ辺が重複して2回数えられているので,

  2e=4x+6y

 オイラーの公式に代入すると

  (4x+6y)/3−(4x+6y)/2+x+y=2

より,x=6,y=8,v=24,e=36,f=14

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【3】原始的4次元30胞体の計量

 原始的4次元30胞体は原始的3次元14面体の4次元版である.構成要素は正六角柱(644)(HCと略)と切頂八面体(466)(TOと略)で,HCの六角形面をTOのひとつの面に合わせる必要がある.TOの正方形面はすべてHCの側面と合わせる.そう考えると次のような接続になる.

(1)HCの六角形面はつねにTOの六角形面と合う

(2)HCの六角形面は半数がTOの四角形面に,半数が他のHCと合う

(3)TOの四角形面はつねにHCの四角形面と合う

(4)TOの六角形面は半数がTOの六角形面に,半数が他のTOと合う

 全体としてTO,HCの胞数をx,yとすると,これらの接続関係から次の関係式が出る.

  x+y=30

  2y=8x/2(六角形面について)

  6x=6y/2(四角形面について)

したがって,x=1,y=20

 面の数は四角形面の延べ数が30×6(両者とも四角形面は6個ずつ),六角形面の延べ数が8x+6y=120

 2面ずつ接するから面の実数は四角形面が180/2=90,六角形面が120/2=60,合計150枚

 辺の延べ数は4×90+6×60=720本であり,1辺の3胞(3面)ずつが会するから,辺の実数は720/3=240本

 オイラー・ポアンカレの定理:

  f0−f1+f2−・・・+(−1)^(n-1)fn-1=1−(−1)^n

すなわち,nが奇数なら2,偶数なら0を満たします.この定理は正多胞体に限らず,n次元凸多胞体について常に成立します.頂点数はオイラー・ポアンカレの公式から

  30+240−150=120個

延べ数が720(辺の延べ数と同じ)なので,各頂点に6本ずつの辺が会する.

 これで大体の形がわかったのでまとめると,原始的4次元30胞体では5組(10個)の切頂八面体と10組(20個)の六角柱からなる30胞体となる.これはケルビンの立体の4次元版で,各頂点の周りに5個ずつ集まる.この切頂八面体(466)×10と正六角柱(644)×20からなる4次元空間充填図形の諸計量は,

  V=120,E=240,F=150,C=30

  1つの頂点の周りに集まる胞数は(466)×2,(644)×2

となる.

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