■置換多面体(その2)

 置換多面体は多面体的組み合わせ論における用語であるが,それとはまったく別の空間充填多面体の立場から,ミンコフスキーが原始的平行多面体としてすでに発見していたものである.

 ミンコフスキーがどのようにしてその空間充填性を証明していたのか,その論文はロシア語で書かれていて,たとえ入手できたとしても理解できないであろうと思うが,純粋に幾何学的な証明だったはずである.

 (その1)の証明は,組み合わせ論から,たとえば,切頂八面体は3次元超平面:x+y+z+w=10(1辺の長さ√2)とみなし,そのあとはミンコフスキーの数の幾何学を感じさせるような証明法になっている.偶然の一致であろうか?

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 なお,n次元置換多面体のファセット数が2(2^n−1)であることはミンコフスキーも証明していたが,頂点数(n+1)!,次数n,したがって

  辺数(n+1)!n/2,

  平行な辺の組数n(n+1)/2

などについては言及していない.

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