■シンク関数の2分割(その57))

 (その56)において,

[1]カージオイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できる曲線であること,

[2]内サイクロイドや外サイクロイドは,固定円の同心円で任意等分できることを述べた.

 このことから,カージオイドは2通りの方法で任意等分可能ということになるが,カージオイドの特殊性を示すために,内サイクロイドや外サイクロイドは,尖点を中心とする円を使って任意等分できないことを申し添えておきたい.

  大円の半径:n,小円の半径:1   (0<t<2π/n)

とする内サイクロイド

  x=(n−1)cost+cos(n−1)t

  y=(n−1)sint−sin(n−1)t

と外サイクロイド

  x=(n+1)cost−cos(n+1)t

  y=(n+1)sint−sin(n+1)t

について調べてみたい.

===================================

【1】固定円の同心円を使った任意等分

[1]内サイクロイド弧長のm等分

  4(n−1)/n(−cos(nt/2)+1)=8(n−1)/mn

  −cos(nt/2)+1=2/m

  cos(nt/2)=1−2/m

  r^2=x^2+y^2=(n−1)^2+1+2(n−1)cosnt=(n−1)^2+1+2(n−1){2cos^2(nt/2)−1}=(n−1)^2+1+2(n−1)(1−8/m−8/m^2)

[2]外サイクロイド弧長のm等分

  4(n+1)/n(−cos(nt/2)+1)=8(n+1)/mn

  −cos(nt/2)+1=2/m

  cos(nt/2)=1−2/m

  r^2=x^2+y^2=(n+1)^2+1−2(n+1)cosnt=(n+1)^2+1−2(n+1){2cos^2(nt/2)−1}=(n+1)^2+1−2(n+1)(1−8/m−8/m^2)

===================================

【2】尖点を中心とする円を使った任意等分

[1]内サイクロイド弧長のm等分

  4(n−1)/n(−cos(nt/2)+1)=8(n−1)/mn

  −cos(nt/2)+1=2/m

  cos(nt/2)=1−2/m

  (x−n)^2+y^2=(n−1)^2+1+2(n−1)cosnt−2n(n+1)cost−2ncos(n+1)t+n^2

したがって,内サイクロイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できない.

[2]外サイクロイド弧長のm等分

  4(n+1)/n(−cos(nt/2)+1)=8(n+1)/mn

  −cos(nt/2)+1=2/m

  cos(nt/2)=1−2/m

  (x−n)^2+y^2=(n+1)^2+1−2(n+1)cosnt−2n(n+1)cost+2ncos(n+1)t+n^2

 したがって,外サイクロイドは尖点を中心とする円を使って任意等分できないが,n=1のとき,

  cos(t/2)=1−2/m

  (x−n)^2+y^2=6+2cos2t=6+2{8(1−2/m)^4−8(1−2/m)^2+1}

となって,任意等分可能であることがわかる,

===================================