■シンク関数の2分割(その46)

 コラム「曲線等分問題」では,2等分点は

  z^2=√2−1

  z=(-1+√2)^1/2=0.643594

3等分点は

  sl(u/3)=1/2(1-(√2)(3)^1/4+√3)=0.435421

として求めたが,

P3(x)=3−6x−x^2=0,x=r^4

 r^4=−3+2√3

 r=(−3+2√3)^1/4=.825379

はもうひとつの3等分点である.

P4(x)=4(1+x)^3{1−6x+x^2)

P5(x)=(5−2x+x^2)(1−12x−26x^2+52x^3+x^4}

 n等分点は

[1]nが奇数のとき

  sl(nu)=sl(u)Pn(sl^4(u))/Qn(sl^4(u))=0または1

[2]nが偶数のとき

  sl(nu)=sl(u)sl'(u)Pn(sl^4(u))/Qn(sl^4(u))=0または1

  sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2

  sl(nu)=sl(u)Pn(sl^4(u))/Qn(sl^4(u))=0または1

として求めることができるが,0とするほうがPn(x)に還元できるから計算は簡単である.

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