■シンク関数の2分割(その42)

【6】レムニスケートサインのn倍角公式

  sl(3u)=(sl(2u)sl'(u)+sl(u)sl'(2u))/(1+sl^2(2u)sl^2(u))

  sl(4u)=(sl(3u)sl'(u)+sl(u)sl'(3u))/(1+sl^2(3u)sl^2(u))

  sl(5u)=(sl(4u)sl'(u)+sl(u)sl'(4u))/(1+sl^2(4u)sl^2(u))

さらに,

  sl'(3u)=(1-sl^4(3u))^1/2

  sl'(4u)=(1-sl^4(4u))^1/2

  sl'(5u)=(1-sl^4(5u))^1/2

レムニスケート弧長のn等分点を求めるには,いくつかの方法が考えられるのですが,もっとも単純素朴な方法はsl(nu)=1として方程式を解いてsl(u)の値を求めることです.とはいえ,sl(nu),n≧3をsl(u)の関数として表すことは大層複雑で,よほど筆算が好きな計算マニアでないかぎり,この計算の解を示すことは難しいと思われます.結論だけ示しますが,3等分点は

sl(u)=1/2(1-(√2)(3)^1/4+√3)=0.435421

5等分点は

c=2+√5+√(5+2√5),sl(u)=√(c-√(c^2-1))=0.262082

で与えられ,作図可能であることがわかります.他にも計算上のアドバンテージが得られる方法があるのですが,計算原理としては変わりありません.

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