■シンク関数の2分割(その30)

(n!)^p〜(np)!の誤差について調べてみたい

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スターリングの公式より,ズレは

Γ(pn+1)/Γ(n+1)^p〜(p^p)^n√p(2πn)^(1-p)/2

p=1のとき、ズレは消える

p=2のとき、ズレは4^n/√πn・・・ウォリスの公式Γ(n+1/2)/Γ(n)√n→1

ズレの定数部分

√p(2π)^(1-p)/2=1

p(2π)^(1-p)=1となるpは

p0=-1/log2π・W(-log2π/2π)=025369769831983267498642792・・・

したがって、p=p0,p=1に限り,

Γ(pn+1)〜(p^p)^n(n)^(1-p)/2・(n!)^p

が成り立つ

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解が

x=-1/log2π・W(-log2π/2π)

で与えられる場合、

(-xlog2π)exp(-xlog2π)=-log2π/2π

x2πexp(-xlog2π)=1

logx+log2π-xlog2π=0

log{(x2π)/(2π)^x}=0

(x2π)/(2π)^x=1

(x2π)=(2π)^x

(x)=(2π)^x-1 (OK)

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