■シンク関数の2分割(その10)

ベータ関数(オイラーの第1種積分)は,

  B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt t:0-1

によって定義されます.ここで,積分変数をtからu=(1-t)/tによってuに変えると,

  B(a,b)=∫(0,∞)u^(a-1)/(1+u)^(a+b)du u:0−∞

が得られます.

 ベータ関数とガンマ関数との間には

  B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)

の関係がありますから,ベータ関数はガンマ関数の兄弟分にあたります.

  Γ(1/2)=√π

を得るにはベータ関数が用いられます.この関数において

  t=sin^2θ

とおくとdt=2sinθcosθdθですから

  B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt

=2∫(0,π/2)sin^(2a-1)θcos^(2b-1)θdθ

ここで,a=1/2,b=1/2とすると

B(1/2,1/2)=2∫(0,π/2)dθ=π

Γ^2(1/2)/Γ(1)=π

Γ(1)=1であるからΓ(1/2)=√πとなる

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【1】ベータ関数の一般化

 ベータ関数を一般化すると,

  ∫(a,b)(x-a)^m(b-x)^ndx=m!n!/(m+n+1)!(b-a)^(m+n+1)

が得られます.これらは受験参考書に必ず書いてある

  ∫(a,b)(x-a)(x-b)dx=-1/6(b-a)^3・・・1/6公式

  ∫(a,b)(x-a)(x-b)^2dx=1/12(b-a)^4・・・1/12公式

  ∫(a,b)(x-a)^2(x-b)dx=-1/12(b-a)^4・・・1/12公式

  ∫(a,b)(x-a)^2(x-b)^2dx=1/30(b-a)^5・・・1/30公式

という公式の一般化になっています.

 1/6,1/12,1/30の正体は

  m!n!/(m+n+1)!

というわけです.

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【2】アステロイドの面積

  B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt t:0-1

より,

  ∫(0,1)(1-x^1/m)^ndx=mn/(m+n)B(m,n)

m=n=3/2のとき,アステロイドの面積(の1/4)が得られます.

  B(3/2,3/2)=Γ(3/2)Γ(3/2)/Γ(3),S=3π/32

m=n=1/2のとき,円の面積(の1/4)が得られます.

  B(1/2,1/2)=Γ(1/2)Γ(1/2)/Γ(1),S=π/4

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