θ=π/n、m=(n-1)/2として、

(1,R)を焦点とする楕円・放物線・双曲線(x^2/a^2+y^2/b^2=1,y^2=4px,x^2/a^2-y^2/b^2=1)を求めたい

軸はy=tan(mθ)x

(1.0)を通るためにはy=-1/tan(mθ)・(x-1)との交点を求める

{tan(mθ)+1/tan(mθ)}・x=1/tan(mθ)

{tan(mθ)^2+1}/tan(mθ)}・x=1/tan(mθ)

x=cos(mθ)^2

y=cos(mθ)sin(mθ)・・・ここを焦点とする楕円を考える

(x,y)から(0,0)までの距離は

{cos(mθ)^2}^2+cos(mθ)^2sin(mθ)^2＝cos(mθ)^4+cos(mθ)^2sin(mθ)^2

=cos(mθ)^2

よりcos(mθ)

(x,y)から(1,0)までの距離は

{cos(mθ)^2-1}^2+cos(mθ)^2sin(mθ)^2＝sin(mθ)^4+cos(mθ)^2sin(mθ)^2

=sin(mθ)^2

よりsin(mθ)

この1/2がｐになるからp=sin(mθ)/2

放物線の頂点は

α=cos(mθ)^2-pcos(mθ)=cos(mθ){cos(mθ)-sin(mθ)/2} ＜0

β=cos(mθ)sin(mθ)-psin(mθ)=sin(mθ){cos(mθ)-sin(mθ)/2} ＜0

(0,0)から(α,β)までの距離は|cos(mθ)-sin(mθ)/2|

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X-α=[cosmθ,-sinmθ][x]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][+/-√(4px)]

でもよいが

X-α=[cosmθ,-sinmθ][pt^2]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][2pt]としてy=tanθ・xとの交点(rcosθ,rsinθ)を求める。

X-α=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt

Y-β=sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt

これでは焦点の変更により、無意味なものになってしまうから

Y→-Y

X=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α

Y=-sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt-β

としてy=tanθ・xとの交点(rcosθ,rsinθ)を求める。

rcosθ=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α

rsinθ=-sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt-β

tanθ=-(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)/(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α), (α,β)は既知

を解いてtを求める。

-(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)=tanθ(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α)

a=(-sinmθ-tanθcosmθ)・p

b=(-cosmθ+tanθsinmθ)・p

c=-β-tanθα

r^2=(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α)^2+(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β)^2

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X-α=[cosmθ,-sinmθ][pt^2]

Y-β=[sinmθ, cosmθ][2pt]

X=cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α

Y=sinmθ・pt^2cosmθ・2pt+β　

(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)を結ぶ直線

Y=(rsin2θ-rsinθ)/(-rcos2θ-rcosθ)・(X-rcosθ)+rsinθ

との交点を求める

(Y-rsinθ)(-rcos2θ-rcosθ)=(rsin2θ-rsinθ)・(X-rcosθ)

(sinmθ・pt^2+cosmθ・2pt+β-rsinθ)(-rcos2θ-rcosθ)=(rsin2θ-rsinθ)・(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α-rcosθ)

(-sinmθ・pt^2-cosmθ・2pt-β+rsinθ)(rcos2θ+rcosθ)=(cosmθ・pt^2-sinmθ・2pt+α-rcosθ)(rsin2θ-rsinθ)

a={-sinmθ(rcos2θ+rcosθ)-cosmθ(rsin2θ-rsinθ)}・p

b=[-cosmθ(rcos2θ+rcosθ)+sinmθ(rsin2θ-rsinθ)}・p

c=(-β+rsinθ)(rcos2θ+rcosθ)-(α-rcosθ)(rsin2θ-rsinθ)

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(rcosθ、rsinθ)と(rcos(π-2θ),rsin(π-2θ))＝(-rcos2θ,rsin2θ)の中点((rcosθ-rcos2θ)/2,((rsinθ+rsin2θ)/2)

からの距離の2乗

2Lと1+rの比較が問題となる

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