■素数と無限級数(その154)

[Q](1−1/2^2)(1−1/3^2)(1−1/4^2)・・・(1−1/n^2)>1/2を証明せよ.

[A]1−1/k^2=(k−1)(k+1)/k^2より,

(1−1/2^2)(1−1/3^2)(1−1/4^2)・・・(1−1/n^2)=(n+1)/2n>1/2

 したがって,

  (1−1/2^2)(1−1/3^2)(1−1/4^2)・・・=1/2

ここで,

  (1−1/2^2)(1−1/4^2)(1−1/6^2)・・・

  =(2−1)(2+1)/2^2・(4−1)(4+1)/4^2・(6−1)(6+1)/6^2・・・

  =1/2・3/2・3/4・5/4・5/6・7/6・・・

  =2/π  (ウォリス)

であるから,

  (1−1/3^2)(1−1/5^2)(1−1/7^2)・・・

  =(3−1)(3+1)/3^2・(5−1)(5+1)/5^2・(7−1)(7+1)/7^2・・・

  =2/3・4/3・4/5・6/5・6/7・8/7・・・

  =π/4

となって,グレゴリー・ライプニッツ級数

  π/4=1−1/3+1/5−1/7+1/9−・・・

と一致する.

===================================