■素数と無限級数(その151)

【7】π^eとe^π

ランベルトはπが無理数であることをはじめて示した.ランベルトの方法は本質的に連分数展開によるものだった.

π^eは代数的数かどうかわかっていないが,e^πは超越数であることはわかっている.

e^π>π^eは

  g(x)=logx/x

g’(x)=(1−logx)/x^2

より,

  loge/e>logπ/π

であるから,

  e^π>π^e

 実際に,g(x)=logx/xのグラフを描いてみればg(x)は幅のある最大値をもち,2つの式の値がほとんど同じくらいになることもわかるのである.

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  e^π=23.14069・・・≒π+20

  π^e=22.45915・・・

であるが,

0<(e^π−π^e)<1

を示すことができるだろうか?

[1]x^y−y^x=1の整数解は(x,y)=(3,2)だけである(3^2−2^3=1).すなわち,8と9だけが唯一連続するベキ乗数である.

[2]x^y−y^x=0  (0<x<y)

  2≦x<e<y≦4で,(x,y)がともに整数となるのは(x,y)=(2,4)のみである(4^2−2^4=0).

[3]2≦x<e<y≦4であるから,(x,y)=(e,e),したがって,e^e=15.1542・・・の周囲にx^y−y^x=0となる有理数解が集積する

[4]x=2〜3,y=3〜4にはy^x−x^y=1となる有理数解が分布する

と推定される.

[5]f(y)=e^y−y^e−1の数値解は

  0,

  1.87422,

  3.21736・・・

y=πは結構ぎりぎりの線なのである.

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