■素数と無限級数(その146)

 18世紀以前は具体的な数値からなる級数の値を求めることが主流だった.俺はこんな級数の値を求めたといって自慢しあう感じだったと思われる.

 よく知られた結果(メルカトール級数)

  1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2

  log(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−x^4/4+・・・

から得られる.

 一方,

  arctanx=x−x^3/3+x^5/5−x^7/7+・・・

x=1とおくと,もうひとつのよく知られた結果(グレゴリー・ライプニッツ級数)

  1−1/3+1/5−1/7+・・・=π/4

が得られる.

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 1−x+x^2−x^3+・・・=1/(1+x)

 −1+2x−3x^2+4x^3+・・・=−1/(1+x)^2

x=1とおくと,

 1−2+3−4+・・・=1/4

 x=1+2+3+4+・・・とおくと

 x−4x=1+2+3+4+・・・−4(1+2+3+4+・・・)

=1+2+3+4+・・・−2(2+4+6+8+・・・)

=1−2+3−4+・・・=1/4

−3x=1/4より

1+2+3+4+・・=−1/12

すなわち,すべての自然数の和=−1/12=ζ(−1)

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