■素数と無限級数(その145)

  log(1+x)/(1−x)=2(x+x^3/3+x^5/5+x^7/7+・・・)

は|x|<1でしか有効ではないが,このとき,(1+x)/(1−x)はすべての正価を取ることができる.

 たとえば,

  (1+x)/(1−x)=2 → x=1/3

したがって,

  log2=2(1/3+1/3・3^3+1/5・3^5+1/7・3^7+・・・)

 

 (1+x)/(1−x)=3 → x=1/2

したがって,

  log3=2(1/2+1/3・2^3+1/5・2^5+1/7・2^7+・・・)

 一般に

 (1+x)/(1−x)=N → x=(N−1)/(N+1)

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  log(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−x^4/4+・・・

は|x|<1でしか有効ではないから,もしこの式からlog3を求めようとするならばまったく意味をなさないものになる.

 x=2を代入すると

  2−2^2/2+2^3/3−2^4/4+・・・

 =2−2+8/3−4+・・・  (振動)

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