サイン関数sinπx=xΠ(1-x^2/π^2n^2)はすべての整数を零点とするもっとも代表的な関数です。

sinπx/πxを正整数だけを零点に持つ関数と負整数だけを零点に持つ関数の積へと分割するために、負整数だけを零点に持つ関数

G(x)=Π(1+x/n)exp(-x/n)

を用いると

xG(x)G(-x)=sinπx/πx

が得られます。

G(x-1)の零点はx=0とG(X)の零点ですからG(x-1)=xexp(γ(x))G(x)と書くことができて

Γ(x)=1/xexp(γ(x))G(x)とおくと、Γ(x+1)=xΓ(x),Γ(1)=1を満たします。

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これでガンマ関数Γ(x)=exp(-γx)/x・Π(1+x/n)^-1・exp(x/n)が得られ

Γ(x)Γ(1-x)=π/sinπx (ルジャンドルの関係式)

の形になりました

これを踏まえて、リーマンは1859年、有名な関数等式

ζ(s)＝π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)／Γ(s/2)ζ(1-s)

を導きました

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ζ(-1)＝π^(-3/2)Γ(1)／Γ(-12)ζ(2)=-1/12

これによって1+2+3+4+・・・=-1/12と書けることになる

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sinπx=xΠ(1-x^2/π^2n^2)の証明

cos(n+1)x=cosnxcosx-sinnxsinx=cosnxcosx-sinnx/sinx・(1-cosx^2)

sin(n+1)x/sinx=cosnx+sinnx/sinx・cosx

sin(n+1)x/(n+1)sinx=fn(cosx)とおくと

f2n(-cosx)=(sin(2n+1)x/(2n+1)sinx=f2n(cosx)

f2n(cosx)はcosx^2,したがってsinx^2の多項式→f2n(cosx)=g2n(sinx)

g2n(t)=C2nΠ(t-sinπk/(2n+1))(t+sinπk/(2n+1))

sin(n+1)x/(n+1)sinx=C2nΠ(sinx^2-sinπk/(2n+1)^2)

C2n=(-1)Π1/sinπk/(2n+1)^2より

sin(2n+1)x/(2n+1)sinx=Π(1-sinx^2/sinπk/(2n+1)^2)→sinπx=xΠ(1-x^2/π^2n^2)が得られる

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