ここでは，不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の一般解について調べてみます．

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【１】オイラー解

　オイラーによれば不定方程式ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の一般解は

ａ＝−（ｘ^2＋３ｙ^2）^2＋（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ），

ｂ＝（ｘ2＋３ｙ^2）^2−（ｚ^2＋３ｗ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ−３ｘｗ＋３ｙｚ），

ｃ＝（ｚ^2＋３ｗ^2）^2−（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ），

ｄ＝（ｚ2＋３ｗ^2）^2＋（ｘ^2＋３ｙ^2）（ｘｚ＋３ｙｗ＋３ｘｗ−３ｙｚ）

であることが知られています．３回回転対称性が意識されているのだと思われます．

　これより，

　　３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3，

　　１^3＋６^3＋８^3＝９^3，

　　７^3＋１４^3＋１７^3＝２０^3

などが求められます．

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最も簡明な解の公式としては

α^2+αβ＋β^2=3λγ^2ならば

(α＋λ^2γ)^3+(λβ+γ)^3=(λα+γ)^3+(β＋λ^2γ)^3

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【２】ラマヌジャン解

　ラマヌジャンはａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝ｄ^3の解を二つの文字ｍ，ｎの恒等式

ａ＝３ｍ^2＋５ｍｎ−５ｎ^2 ，

ｂ＝４ｍ^2−４ｍｎ＋６ｎ^2 ，

ｃ＝５ｍ^2−５ｍｎ−３ｎ^2 ，

ｄ＝６ｍ^2−４ｍｎ＋４ｎ^2

として与えています．３^3 ＋４^3＋５^3＝６^3

を意識したものですが，すべての解をもれなく表す式ではないとと思われます．

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m=2,n=3を代入して27で割れば ，

12^3=(-1)^3+10^3+9^3

a=M^7+3M^4(1+P)+M{3(1+P)^2-1}

b=2M^6-3M^3(1+2P)+(1+3P+3P^2)

c=M^6-(1+3P+3P^2)

d=M^7-3M^4P+M(3P^2-1)

の例としても

1729=9^3+10^3=12^3+1^3

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