オイラーのL関数のディリクレ級数表示

L(x)=1/1^x-1/3^x+1/5^x-1/7^x+・・・

では4で割って1余る奇数→+,4で割って1余る奇数→-になる。

このオイラー積では4で割って1余る奇素数→+,4で割って3余る奇素数→-になる。

L(1)=Π(1-(-1)^(p-1)/2/p^x)^-1=Πp/(p-(-1)^(p-1)/2)

分母はｐを 4で割って1余るとき、p-1,4で割って3余るとき、p+1であるから

L(1)=3/4・5/4・7/8・11/12・13/12・17/16・19/20・23/24・・・=π/4　　（メルテンスの定理）

L(1)=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-・・・=π/4　　（マーダヴァ級数/ライプニッツ級数）

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深リーマン予想とは

L(1/2)=Π(1-(-1)^(p-1)/2/√p)^-1

が収束するというものである。これが成り立てばリーマン予想も成り立つことが証明されている。

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