４ｎ＋３型素因数の積は

(4a+3)(4b+3)=4(4ab+3a+3b+2)+1

４ｎ＋１型自然数Ｎになる→偶数個の４ｎ＋３型素因数の積は４ｎ＋１型自然数Ｎになる

→４ｎ＋１型自然数Ｎの素因数に４ｎ＋１型素数が存在するとは限らない。

したがって、以下のような証明では４ｎ＋１型素数は無数に存在することは示すことができない。

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　x^2+1の素因数は２または４ｎ＋１型素数に限られる。

(証)

これはガウスの平方剰余の相互法則の特別な場合（第1補充則）に相当します。

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