■多角数の逆数和の問題(その9)

 よく知られた結果(メルカトール級数)

  1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2

からはじまって,5の倍数の項のない交代級数

1-1/2+1/3-1/4+1/6-1/7+1/8-1/9+1/11-1/12+1/13-1/14+1/16-1/17+・・・

=(π/5){√(1+2/√5)-√(1-2/√5)}

=(π/5)√(2-2/√5)

=(π/5)/sin(2π/5)

=(2π/5)/2sin(2π/5)

を求めることができる.

 そこでは

Σ1/(pk−q)−Σ1/(pk+q)

=1/q−(π/p)/tan(qπ/p)

が主要な役割を担っている.

 もうひとつのよく知られた結果(グレゴリー・ライプニッツ級数)

  1−1/3+1/5−1/7+・・・=π/4

Σ1/(pk−q)−Σ1/(pk+q)

=1/q−(π/p)/tan(qπ/p)

において,p=4,q=1とおくと

左辺=1/3−1/5+1/7−1/9+1/11−1/13+・・・

右辺=1−π/4

として得られることがみてとれるだろう.

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