■素数と無限級数(その120)

[1]ゼータ関数が出現する無限級数

 Σ(ζ(m)−1)=(ζ(2)−1)+(ζ(3)−1)+(ζ(4)−1)+・・・=1

(証)Σ(2)1/n^2+Σ(2)1/n^3++Σ(2)1/n^4+・・・

=Σ(2){1/n^2+1/n^3+1/n^4+・・・}

=Σ(2)1/n^2・n/(n−1)

=Σ(2)1/n(n−1)

=Σ(2){1/(n−1)−1/n}=1

(ζ(2)−1)+(ζ(4)−1)+(ζ(6)−1)+・・・=3/4

(ζ(3)−1)+(ζ(5)−1)+(ζ(7)−1)+・・・=1/4

も同様に証明できる.

(ζ(2)−1−1/2^2)+(ζ(3)−1−1/2^3)+(ζ(4)−1−1/2^4)+・・・=1/2

(ζ(2)−1−1/2^2−1/3^2−・・・−1/k^2)+(ζ(3)−1−1/2^3−1/3^3−・・・−1/k^3)+(ζ(4)−1−1/2^4−1/3^4−・・・−1/k^4)+・・・=1/k

(ζ(m+1)−1)/(ζ(m)−1)→1/2

(ζ(m+1)−1−1/2^m+1)/(ζ(m)−1−1/2^m)→1/3

(ζ(m+1)−1−1/2^m+1−1/3^m+1−・・・−1/k^m+1)/(ζ(m)−1−1/2^m−1/3^m−・・・−1/k^m)→1/(k+1)

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