■素数と無限級数(その115)

[1]πが出現する無限級数

 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・=π^2/6

 1+1/2^4+1/3^4+1/4^4+・・・=π^4/90

 1−1/3^3+1/5^3−1/7^3+・・・=π^3/32

 1−1/2^3+1/4^3−1/5^3+1/7^3−・・・=4π^3/81√3

 1−1/3+1/5−1/7+・・・=π/4

 1−1/2+1/4−1/5+1/7−1/8+・・・=π/3√3

[2]logが出現する無限級数

 1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2

 1+1/2−2/3+1/4+1/5−2/6+1/7−1/8−2/9+・・・=log3

[3]ゼータ関数が出現する無限級数

 ζ(2)/2+ζ(4)/2^3+ζ(6)/2^5+ζ(8)/2^7+・・・=1

 π=exp(log2+C) 

C=1/2・ζ(2)/2+1/2^3・ζ(4)/4+1/2^5・ζ(6)/6+・・・

[4]その他

 exp(iπ)=−1=i^2

 i^i=1/√exp(π)=0.207879576350761・・・   (実数,表し方は無限にある)

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