■素数と無限級数(その104)

 八角数について検算.

 Σ2/n(6n−4)  (n=1〜)

=Σ2/(n+1)(6n+2)  (n=0〜)

=Σ1/(n+1)(3n+1)  (n=0〜)

=1/3Σ1/(n+1)(n+1/3)  (n=0〜)

=1/2・Σ{1/(n+1/3)−1/(n+1)}  (n=0〜)

  Σ{1/(n+p/q)−1/(n+1)}

=π/2・cotpπ/q+log2q−2Σcos2pkπ/q・logsinkπ/q  (0<k<q/2)

  Σ{1/(n+1/3)−1/(n+1)}

=π/2・cotπ/3+log6−2{cos2π/3・logsinπ/3}

=π/2・(1/√3)+log6−2{−1/2・log√3/2}

=π/2√3+log3+log2+1/2log3−log2

=π/2√3+3/2・log3

したがって,この1/2倍が解となる.

  π/4√3+3/4・log3=1.27741・・・

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