Pk＝Σ1/n(n+k)とすると

n→∞のとき

Pk→Hk/k

P1→1,P2→3/4,P3→11/18,・・・　

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このことを積分風に書くと

P3＝Σ1/n(n+3)＝-1/3・[1/x+1/(x+1)+1/(x+2)](1,∞)＝11/18

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このことの裏にはジガンマ関数が見え隠れする

(3)ポリガンマ関数

　ガンマ関数の対数微分であるジガンマ関数φ（ｘ）は

φ(x)=d/dx{logΓ(x)}=Γ'(x)/Γ(x)

で定義されます．また，その逐次導関数φ’（ｘ），φ”（ｘ），・・・，φ^(k)（ｘ），すなわち，トリガンマ関数，テトラガンマ関数，ペンタガンマ関数などを総称してポリガンマ関数と呼びます．

　引数が整数のときのジガンマ・トリガンマ関数

φ（ｎ）＝Σ1/kｰγ，φ’（ｎ）＝π^2/6-Σ1/k^2

また，

φ^(k)（x）=(-1)^(k+1)k!Σ1/(n+x)^(k+1)より，ｘ＝１におけるポリガンマ関数値は，

φ(1)=-γ，φ'(1)=π2/6=ζ(2)，φ^(k)（1）=(-1)^(k+1)k!ζ(k+1)

になります．

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