■素数と無限級数(その67)

 (その61)において,

  Σ(1/p^σ)>1/2・log1/(σ−1)  (0<σ≦2)

は,σ=2のとき,Σ1/p^2>0となって,実効的な下限は得られない.

 pnまでとpn+1からに分けると

  Σ(1/p^σ)<−1/2・Σ(1/p^σ)+Σ(1/p^σ)

これも同様である.

 logζ(σ)<Σ1/log(p^σ−1)<2Σ1/p^σ

 Σ1/p^σ>1/2・logζ(σ)

 Σ1/p^2>1/2・logζ(2)=log(π/√6)=0.248849・・・これも実効的ではない.

  Σ(1/p^2)=1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+1/11^2+・・・は第1項でΣ1/p^2>0.25であるからである.

===================================

1/2^2=0.25

1/2^2+1/3^2=0.361111

1/2^2+1/3^2+1/5^2=0.401111

1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2=0.421519

1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+1/11^2=0.429784

===================================