■素数と無限級数(その46)

 調和級数Σ(1/n)が無限大に発散すること

  1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+・・・=∞

は容易に示すことができます.

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【1】オレームの証明

  1/3+1/4>1/4+1/4=1/2

  1/5+1/6+1/7+1/8>1/8+1/8+1/8+1/8=1/2

 したがって,

  1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+・・・

=1/1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+・・・

=1+1/2+1/2+1/2+・・・=∞

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【2】メルカトール級数(調和級数の交代級数)

  log(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−x^4/4+・・・

に1を代入すると

  1/1−1/2+1/3−1/4+1/5−1/6+1/7−1/8+・・・=log2

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