■素数と無限級数(その40)

 (その39)の続き.

  T(x)=xlogx−x+S(x),誤差項|S(x)|<logx

  α(x)=T(x)−T(x/2)−T(x/3)−T(x/5)+T(x/30)とおくと

  α(x)<φ(x)<φ(x/6)+α(x)

  φ(x)−φ(x/6)<α(x)<φ(x)

が成り立つ.

 その系として

[1]A1=1.1224と任意のx≧2に対して,θ(x)≦A1xが成り立つ.

[2]A3=0.73と任意のx≧37に対して,A3x≦θ(x)が成り立つ.

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|α(x)−(x/2・log2+x/3・log3+x/5・log5−x/30・log30)|≦5logx

|α(x)−(14log2+9log3+5log5)・x/30)|≦5logx

c=(14log2+9log3+5log5)/30とおくと,

|α(x)−cx|≦5logx,c=0.921292・・・

 あとは数値的に処理する.たとえば,

x>3000に対して,5logx<0.014xが成り立つので,

0.9072x<(c−0.014)x≦α(x)≦(c+0.014)x<0.9353x

(実はx≧350ならばこの不等式が成り立つ).

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 φ(x)−φ(x/6)<α(x)

φ(x)=Σ(φ(x/6^j)−φ(x/6^j+1)≦Σα(x/6^j)

≦Σ0.9353・x/6^j≦1.1224x

 x≧350ならば,0.9072x≦α(x)であるから,

  0.9072x≦φ(x)

 さらに

0.9072x−x^1/2logx≦φ(x)−x^1/2logx≦θ(x)

x^1/2logx<0.15xより

θ(x)>0.9072x−0.15x>0.75x

 37≦x≦350に対してはθ(x)>0.73xが成り立つ.

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