■素数と無限級数(その39)

 (その35)〜(その37)に掲げた,チェビシェフの粗い素数定理

  c1x/logx<π(x)<c2x/logx

の複素関数論を用いない証明についての解説が

  [参]小山信也「素数とゼータ関数」共立出版

にもある.購読されたい.

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 以下の不等式も,本質的にチェビシェフの議論に従う.

  θ(x)=Σlogp

  φ(x)=Σθ(x^1/n)

  T(x)=Σlogn=log(x!)

  α(x)<φ(x)<φ(x/6)+α(x)

  A2x≦φ(x)≦A1x

  A3x≦θ(x)≦A1x

  φ(x)≦Σ{φ(x/6^j)−φ(x/6^j+1)}<Σα(x/6^j)

≦0.9353(1+1/6+1/6^2+・・・)x≦1.1224x

  A1=1.1224

同様に,

  A2=0.9072,A3=0.73

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