■素数と無限級数(その37)

【1】チェビシェフの証明

 ここではチェビシェフの定理「nと2nの間に素数がある」の初等的証明を紹介したい.

  θ(x)=Σlogp

  φ(x)=Σθ(x^1/n)

 区間(x,2x],x≧37とする.この区間に素数が存在しなかれば,

  θ(2x)=θ(x)

であるが,

  1.46x≦θ(2x)=θ(x)≦1.13x

となり,矛盾.

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【2】ラマヌジャンの証明

  φ(x)−2φ(√x)≦θ(x)≦φ(x)

  φ(x)−φ(x/2)≦logx!−2log(x/2)!≦φ(x)−φ(x/2)+φ(x/3)

 ここで,スターリングの公式より

  2x/3<logx!−2log(x/2)!<3x/4

  θ(x)−θ(x/2)>x/6−3√x

x>324に対して,x/6−3√x>0

x>162に対して,θ(2x)−θ(x)>0

 x<162のばあいは容易に調べられるので,xと2xの間には素数が心材するというベルトラン仮説は成り立つことがわかる.

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