■素数と無限級数(その33)

【1】ヤコビの恒等式(ポアソンの和公式)

 nの符号を正,負,0に分けることにより

  1+2exp(−π/t)+2exp(−4π/t)+2exp(−9π/t)+・・・=√t(1+2exp(−πt)+2exp(−4πt)+2exp(−9πt)+・・・

  Σexp(−πm^2/t)=√tΣexp(−πm^2t)

すなわち,

  θ(t)=Σexp(−πm^2t)

とおくと,テータ関数に関するヤコビの恒等式(1829年)

  θ(1/t)=√tθ(t)

が成り立ちます.

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 nの符号が正のときは

  1+2θ(1/t)=√t(1+2θ(t))

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