【１】ｅ^πは超越数である

　　ｅ^π＝２３．１４０６９２６４・・・

は超越数であるは，ｅ（＝２．７１８２８・・・），ｉ，π（＝３．１４１５９・・・）を結びつける美しいオイラー関係式ｅ^iπ＝−１より，ａ＝ｅ^π，ｂ=ｉ

ｂ=ｉはｉ^2＋１=０より代数的

ａ＝ｅ^πは０でも１でもない

すると残るはａ＝ｅ^πは代数的でないことになり，超越数であることが示せる

したがって，ゲルフォント・シュナイダーの定理から超越数であることがいえるのです．

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【２】π^eは超越数であるか？

一方，

　　π^e＝２２．４５９１５７７１・・・

が超越数かどうかはわかっていません．その理由について説明します．

√２は無理数である．√２＝２^1/2であるから，この例は

　　ａとｂがともに有理数であっても，ａ^bが無理数となる

場合があることを示している．それでは

　　ｃとｄがともに無理数であっても，ｃ^dが有理数となる

場合はあるだろうか？

√２^√２を考える．この数は有理数であるか無理数であるかわからないとするが，有理数であれば答えはyesということになる．そこで，無理数であると仮定する．そして，

　　ｃ＝√２^√２，ｄ＝√２

とおき，ｃ^dを計算すると

　　ｃ^d＝（√２^√２）^√２＝（√２）^√２√２＝（√２）^２＝２

　したがって，

　　ｃとｄがともに無理数であっても，ｃ^dが有理数となる

数が存在することになる．

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