■こんなところにもチェビシェフ多項式が現れる(その78)

h:ペトリー数

Σm=nh/2:対称超平面の個数

Π(m+1):基本単体の個数

 2mi+1=kiとおくと,ポアンカレ多項式は

  Π(1+t^k)=1+B1t+B2t^2+・・・+Br-1t^r-1+t^r

で定義される.

 (2m1+1)+(2mn+1)=(2m2+1)+(2mn-1+1)=・・・

=2h+2

r=(2m1+1)+(2m2+1)+・・・+(2mn-1+1)+(2mn+1)=n(h+1)

 すなわち,ポアンカレ多項式の係数は,対称超平面の個数などを与えるベッチ数というわけである.

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 また,

  Π(1+mt)=(1+m1t)(1+m2t)・・・(1+mnt)

=b0+b1t+b2t^2+・・・+bnt^n

とすると

  b1=m1+m2+・・・+mn=対称超平面の個数

  Γ=b0+b1+b2+・・・+bn

=(1+m1)(1+m2)・・・(1+mn)=基本単体の個数

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