■こんなところにもチェビシェフ多項式が現れる(その69)

 正多胞体を2次元に図示する場合,ひとつにはなるべく多くの頂点が重なるように配置する方法と,もうひとつには頂点がなるべく重ならないように配置する2つの方法がある.

 ここでは 輪郭が正m角形でmが最大となるような座標配置と考えると,

  正単体→m=n+1

  立方体・正軸体→m=2n

  F4→m=12,H3→m=10,H4→m=30

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【1】正単体

U0(t)=sinθ/sinθ=1

U1(t)=2sinθcosθ/sinθ=2cosθ=2t

U2(t)=(−4sin^3θ+3sinθ)/sinθ=−4sin^2θ+33=−4(1−cos^2θ)+3=4t^2−1

U3(t)=8t^3−4t

U4(t)=16t^4−12t^2+1

U5(t)=32t^5−16t^3+6t

3次元では,4t(2t^2−1)=0→t=1/√2→ねじれ角90°(正方形)

4次元では,t^2=(3+√5)/8,t=(1+√5)/4→ねじれ角72°(正五角形)

5次元では,16t^4−8t^2+3=0,t^2=・・・

どうも式が間違っているようであるが,いすれの場合も円分多項式に帰着される.

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【2】立方体・正軸体

T0(t)=1

T1(t)=cosθ=t

T2(t)=2cos^2θ−1=2t^2−1

T3(t)=4cos^3−3cosθ=4t^3−3t

T4(t)=8t^4−8t^2+1

T5(t)=16t^5−20t^3+5t

と続く.

3次元では,t=√3/2→ねじれ角60°(正六角形)

4次元では,t^2=(2+√2)/4→ねじれ角45°(正八角形)

5次元では,t^2=(5+√5)/8→ねじれ角36°(正十角形)

いすれの場合も円分多項式に帰着される.

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