■こんなところにもチェビシェフ多項式が現れる(その51)

 x=cosθとおくとき,

  cosnθ=Tn(x)

  sinnθ=Tn’(x)sinθ/n

  sin(n+1)θ/sinθ=Un(x)

  cosnθ+cosθsinnθ/sinθ=Un(x)

  Tn(x)+xTn’(x)/n=Un(x)

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【1】n倍角公式とチェビシェフ多項式

  cos2θ=2cos^2θ−1

  sin2θ=2sinθcosθ−1

  tan2θ=2tanθ/(1−tan^2θ)

  cos3θ=4cos^3θ−3cosθ

  sin3θ=3sinθ−4sin^3θ

  tan3θ=(3tanθ−tan^3θ)/(1−3tan^2θ)

 t=tanθとおくと,

  tan3θ=(3t−t^3)/(1−3t)

  tan4θ=(4t−t^3)/(1−6t^2+t^4)

  tan5θ=(5t−10t^3+t^5)/(1−10t^2+5t^4)

 このように多項式pn(t),qn(t)を用いて

  tannθ=qn(t)/pn(t)

と表すことができる.それでは,以下の例はどうだろうか?

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 調和級数Hn=Σ(1/n)は非常にゆっくりとですが大きくなり,ついには無限大に発散すること,すなわち,

  Hn=1/1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n〜logn→∞

は容易に示すことができます.

(Q)H1=1,H2=3/2,H3=11/6,H4=25/12,H5=137/60,・・・である.任意のnに対して,Hn=F(n)/G(n)を満たす多項式F(n),G(n)を求めよ.

(A)存在しない.

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