■こんなところにもチェビシェフ多項式が現れる(その2)

正多胞体の対称超平面数を求めるのにチェビシェフ多項式を用いることができるのであるが、チェビシェフ多項式はいろいろなシーンでが現れる。

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【2】√dの近似値とチェビシュフ多項式

   x^2−dy^2=1の最小解を(x1,y1),

   x^2−dy^2=−1の最小解を(r1,s1)

とおくと,漸化式

  cn+2 =2x1cn+1−cn   (c=x,y,r,s)

  cn+2 =2r1cn+1+cn   (c=t,u)

が成り立つ.

 ところで,ド・モアブルの定理:

  (cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ

の左辺を2項展開して,両辺の実部,虚部を比較すると

  cosnθ=(cosθ)^n−nC2(cosθ)^n-2(sinθ)^2+・・・=(cosθのn次多項式)=Tn(cosθ)

  sinnθ=nC1(cosθ)^n-1sinθ−nC3(cosθ)^n-3(sinθ)^3+・・・=sinθ×(cosθのn−1次多項式)=sinθ×Un(cosθ)

を得る.

 また,

  cosnθ=cosθcos(n−1)−sinθsin(n−1)θ

  sinnθ=sinθcos(n−1)+cosθsin(n−1)θ

より,漸化式

  Tn(cosθ)=cosθTn-1(cosθ)−(sinθ)^2Un-1(cosθ)

  Un(cosθ)=Tn-1(cosθ)+cosθUn-1(cosθ)

  Tn(cosθ)=2cosθTn-1(cosθ)−Tn-2(cosθ)

  Un(cosθ)=2cosθUn-1(cosθ)−Un-2(cosθ)

が成り立つ.

 cosθ=xの多項式で表すと,チェビシュフ多項式は

  Tn(x)=2xTn-1(x)−Tn-2(x)

  Un(x)=2xUn-1(x)−Un-2(x)

となり,前述の漸化式と一致していることがわかる.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

 したがって,

  xn=Xn(x1),yn=y1Yn(x1)

  tn=Vn(t1),un=u1Wn(t1)

とおくと,チェビシュフ多項式を用いて

  xn=Tn(x1),yn=y1Un-1(x1)

  tn=T~n(t1),un=u1U~n-1(t1)

  xn=T~2n(t1),yn=u1U~2n-1(t1)

  rn=T~2n-1(r1),sn=s1U~2n-2(r1)

と表される.

 ただし,T~n,U~nはチェビシェフ多項式Tn,Unの負の符号を正に変えたものである.以下,チェビシェフ多項式を示しておく.

T0(x)=1         T~0(x)=1        

T1(x)=x         T~1(x)=x        

T2(x)=2x^2−1     T~2(x)=2x^2+1    

T3(x)=4x^3−3x    T~3(x)=4x^3+3x   

T4(x)=8x^4−8x^2+1 T~4(x)=8x^4+8x^2+1

U0(x)=1         U~0(x)=1       

U1(x)=2x         U~1(x)=2x       

U2(x)=4x^2−1     U~2(x)=4x^2+1   

U3(x)=8x^3−4x    U~3(x)=8x^3+4x  

U4(x)=16x^4−12x^2+1 U~4(x)=16x^4+12x^2+1

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