■循環節と原始根(その43)

[8]Ln=R2n/Rn=(10^2n−1)/(10^n−1)

 L1=11(素数)

 L2=101(素数)

 L3=1001=7・11・13

 L4=10001=73・137

 L5=100001=11・9091

 L6=1000001=101・9901

 L7=10000001=11・909091

 L8=100000001=17・5882353

 L9=1000000001=7・11・13・19・52579

 L10=10000000001=101・3541・27961

 pを2,5以外の素数とするとき,pが10^k+1の素因数となるようなLkが存在することと,1/pの循環桁数が偶数であることは同値であることが知られている.

 41の循環桁数は奇数→41は10^k+1の素因数とはなりえない.

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1/pの循環桁数L(p)が偶数である集合をA,奇数である集合をBとする.

A={7,11,13,17,19,23,29,47,59,61,73,89,97,・・・}

B={3,31,37,41,43,53,67,71,79,83,・・・}

 x→∞のとき,

  πA(x)/πB(x)→2

となることが知られている.したがって,すべての素数のうちの2/3が10^k+1の素因数分解に出現する.

10を原始根とする素数,たとえば,

7,17,19,23,29,47,59,61,97,・・・

はA群に属します.もし,アルティン予想が正しいとすれば,このような素数は無限にあり,素数全体のうち約3/8を占めることになる.すなわち,x→∞のとき,

  πx(x)/(πA(x)+πB(x))〜3/8

  πA(x)/πB(x)→2

であるから

  πx(x)/πA(x)〜3/8・3/2=9/16

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