【２】ｎ＝□＋□＋□＋□（四平方和問題）

［Ｑ］正の整数ｎはすべて４つの平方数の和として表されるか？　正の整数ｎを４つの平方数の和で表す方法の総数ｒ4（ｎ）を表す式を求められるか？

　４ｋ＋３の形の整数は２つの平方数の和として表せない，８ｋ＋７の形整数は２つの平方数の和として表せない，しかしながら，「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，ラグランジュの定理です．すなわち，ラグランジュの定理は４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの球面には必ず格子点があることを主張しているわけです．半径√ｎの２次元の円，３次元の球には格子点が存在するとは限らないのです．

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　σ1（ｎ）をｎの約数全部の和とすると，ｎが４で割り切れないとき

　　ｓ1（ｎ）＝σ1（ｎ）

ｎが４で割り切れるとき

　　ｓ1（ｎ）＝σ1（ｎ）−４σ1（ｎ／４）

となる．

　ここで，４で割り切れないｎの約数の和をｓ1（ｎ）と書くことにすると，

　　ｒ4（ｎ）＝８ｓ1（ｎ）

が成り立つ．

（証）θ（τ）＝Σｑ^(n^2)

より

　　θ（τ）^4＝Σｒ4（ｎ）ｑ^n，ｑ＝ｅｘｐ（πｉτ）

　ここで，アイゼンシュタイン級数をかなり巧妙に変形した関数

　　Ｅ2（τ）＝ΣΣ１／（ｍτ／２＋ｎ）^2−ΣΣ１／（ｍτ＋ｎ／２）^2

を導入すると，

　　θ（τ）^4＝−π^-2Ｅ2（τ）＝１＋８Σｓ1（ｋ）ｑ^k

を示すことができる．

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