■n=Σ□(その32)

【1】部分分数分解

[1]部分分数分解

 πcosπz=1/z+Σ{1/(z−n)+1/z}

[2]微分

 π^2/(sinπz)^2=1/z^2+Σ1/(z−n)^2

[3]ワイエルシュトラスのペー関数

 p(z)=1/z^2+Σ{1/(z−ω)^2−1/ω^2}

[4]アイゼンシュタイン級数

 Ek(z)=Σ1/(mz+n)^k

===================================

【2】因数分解

[1]sinπz/πz=Π(1−z^2/n^2)

[2]1/Γ(z)=zexpγzΠ(1+z/n)exp(−z/n)

[3]ワイエルシュトラスのシグマ関数

 σ(z)=zΠ(1−z/ω)exp(z/ω+2z^2/ω^2)

===================================

【3】おまけ

[3]ワイエルシュトラスのシグマ関数

 σ(z)=zΠ(1−z/ω)exp(z/ω+2z^2/ω^2)

[4]アイゼンシュタイン級数

 Ek(z)=Σ1/(mz+n)^k

===================================

 ワイエルシュトラスのシグマ関数(ワイエルシュトラス積)はガウスの整数に関連していて,

 σ(1/2)=1/2Π(1−1/2(m+ni))exp(1/2(m+ni)+1/8(m+ni)^2)

=2^5/4π^1/2exp(π/8)/{Γ(1/4)}^2

=0.4749493802・・・

 ワイエルシュトラスのシグマ関数はπとexp(π)とΓ(1/4)が代数的に独立であることを示す手段になり得る.

===================================