■n=Σ□(その8)

 リーマンのゼータ関数

  ζ(s)=Σ1/n^s  (n=1〜∞)

に対して,フルビッツのゼータ関数は

  ζ(s,x)=Σ1/(n+x)^s,  (n=0〜∞)

で定義される.

  ζ(s,1)=ζ(s)

  ζ(s,1/2)=(2^s−1)ζ(s)

 ここでは,0<x≦1を考えて解析接続すると,

  ζ(s,x)=x^-s+(1+x)^-s+(ζ(s)−1)

−sx(ζ(s+1)−1)+s(s+1)/2・x^2(ζ(s+2)−1)

−s(s+1)(s+2)/6・x^3(ζ(s+3)−1)

+s(s+1)(s+2)(s+3)/24・x^4(ζ(s+4)−1)

−・・・

  ζ(−2,x)=−x^3/6+x^2/2−x/6

=−x/6・(2x−1)(x−1)

0<x≦1を考えるとx=1/2,x=1のとき,零点をもつ.

  ζ(−2,1)=0  →ζ(−2)=0

  ζ(−2,1/2=0 →ζ(−2)=0

 また,ζ(−2,1−x)=−ζ(−2,x)

ζ(−2,3/4)=−ζ(−2,1/4)=−1/64

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  L(s)=1/1^s−1/3^s+1/5^s−1/7^s+1/9^s−1/11^s+・・・

は,フルビッツのゼータ関数を用いて

  L(s)=4^-s{ζ(s,1/4)−ζ(s,3/4)}

で表される.

  L(−2)=4^2{ζ(−2,1/4)−ζ(−2,3/4)}

=−16・2/64=−1/2

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