■n=Σ□(その5)

  ΣR1(n)x^n=Σx^(n^2)=1+2x+2x^4+2x^9+・・・=1+2Iとすると

  ΣR2(n)x^n=(1+2I)^2=1+4J,J=I+I^2

  ΣR4(n)x^n=(1+4J)^2=1+8K,K=J+2J^2

  ΣR8(n)x^n=(1+8K)^2=1+16L,L=K+4K^2

の形となる.

 したがって,n≧1のとき,R2(n)は4で割り切れ,R4(n)は8で割り切れ,R16(n)は16で割り切れる.

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  ΣS1(n)x^n=x+x^9+x^25+x^49+x^81+・・・

=x(1+x^8+x^24+x^48+x^80+・・・)=xP

Pはnが8で割り切れないときx^nの係数が消えるようなべき級数を表す.

 S1(n),S2(n),S4(n),S8(n)の母関数はそれぞれ

  xP,x^2P^2,x^4P^4,,x^8P^8.

したがって,

[1]n=8m+2型でないとき,S2(n)=0

[2]n=8m+4型でないとき,S4(n)=0

[3]n=8m型でないとき,S8(n)=0

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 また,

  Rk+l(n)=Rk(0)Rl(n)+Rk(1)Rl(n−1)+・・・+Rk(n)Rl(0)

  Sk+l(n)=Sk(1)Sl(n−1)+Sk(2)Sl(n−2)+・・・+Sk(n−1)Sl(1)

が成り立つ.

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