■オイラーからマクドナルドまで(その5)

 ワイル群の基本不変式の次数をd1,d2,・・・,dn-1,dnとすると

         d1,d2,・・・,dn-1,dn

  An 型    2,3,・・・・,n,n+1

  Bn,Cn型  2,4,,・・・,2(n−1),2n

  Dn 型    2,4,・・・・,2n−2,n

となる.

 また,ワイル群の位数はAnに関しては(n+1)!,Bn,Cnに関しては2^nn!,Dnに関しては2^n-1n!である.すなわち,位数イコール

  Πdi

というわけである.

 ところで,ひとつの稜線を構成する頂点の数k1は常にk1=2,ひとつの正多角形を構成する辺の数をk2,・・・,n次元胞体を構成するファセットの数をknとすると,

  n次元正単体  2,3,4,・・・・,n,n+1

  n次元立方体  2,4,6,・・・,2(n−1),2n

  n次元正軸体  2,3,4,・・・,n,2^n

となり,鏡映対称変換の個数

  Πki

はそれぞれ(n+1)!,2^nn!,2^nn!で表される.

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 n次元空間において高度の対称性をもったベクトルの集合がルート系なのですが,n次元正単体とn次元立方体の対称群は,それぞれAn-1,Bn(Cn)で表されます.

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