■整数環X(その31)

【1】E8格子

 コクセターは,8次元空間において2個の正軸体と1個の正単体を組み合わせると空間充填形ができ,ケイリー整数の作る格子がその具体形であることを証明した.

 原点と単位点,実数成分が1/2で他の3個がすべて+1/2である原点の隣点7点,

(0,0,0,0,0,0,0,0)

(1,0,0,0,0,0,0,0)

(1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,0,0)

(1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,0,0)

(1/2,1/2,0,0,0,0,1/2,1/2)

(1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0)

(1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,1/2)

(1/2,0,0,1/2,1/2,0,0,1/2)

(1/2,0,0,1/2,0,1/2,1/2,0)

合計9点は辺長が1の正単体をなす.

 他方,原点と全成分が1/2の点

(0,0,0,0,0,0,0,0)

(1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2,1/2)

を軸として,両者から等距離にある4成分が1/2,他の成分が0である14点,

(1/2,1/2,1/2,1/2,0,0,0,0)

(1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,0,0)

(1/2,1/2,0,0,0,0,1/2,1/2)

(1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2,0)

(1/2,0,1/2,0,0,1/2,0,1/2)

(1/2,0,0,1/2,1/2,0,0,1/2)

(1/2,0,0,1/2,0,1/2,1/2,0)

とその反転

(0,0,0,0,1/2,1/2,1/2,1/2)

(0,0,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2)

(0,0,1/2,1/2,1/2,1/2,0,0)

(0,1/2,0,1/2,0,1/2,0,1/2)

(0,1/2,0,1/2,1/2,0,1/2,0)

(0,1/2,1/2,0,0,1/2,1/2,0)

(0,1/2,1/2,0,1/2,0,0,1/2)

合計16点が辺長1の正軸体を作り,隙間なく全空間を覆うのである.

===================================