■整数環X(その13)

 実数Rと複素数C上の単純リー群は,

[1]An,Bn,Cn,Dn(ユニタリ,直交,シンプレクティック群よりなる無限族)

[2]G2,F4,E6,E7,E8(5個の例外群,8元数上の幾何学に対応)

に分類される.

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【1】フロイデンタールのMagic Square

 1950年代に,フロイデンタールは4つの特異な幾何がすべて,R,C,H,O上で定義されることを発見した.

 それは,楕円的平面上の幾何,射影的平面上の幾何,シンプレクティック幾何,メタシンプレクティック幾何の4つの幾何である.

 4つの環R,C,H,O上の4つの幾何の自己同型写像は,以下のMagic Squareをなす.

                R   C      H   O

楕円的平面上の幾何       B1   A2      C3   F4

射影的平面上の幾何       A2   A2 +A2   A5   E6

シンプレクティック幾何     C3   A5      D6   E7

メタシンプレクティック幾何   F4   E6      E7   E8

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