素数定理はとなりあう素数間の平均距離は約logPnであることを主張している。

一方、双子素数が無限にあるなら、あきらかに

　E=inf(Pn+1-Pn)/logPn→0

であるが、いまのところが

　E=inf(Pn+1-Pn)/logPn→1/4+π/16=0.4463・・・

が示されているだけである。（ハクスレイ、1973年）

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1849年、フランスのポリニヤクはどんな偶数でもその数だけ離れた素数は無限にあるだろうと予想しました。

2013年、ジャン・イータン（張益唐）は7000万未満のいくつかの偶数について、その数だけ離れた素数は無限にあることを予想しました。

　E=inf(Pn+1-Pn)/logPn→0

ポリマス計画ではこの上限を246まで減らしました。エリオット・ハルバースタム予想を仮定するとその上限を6まで下げられるとのことです。

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